\section{轨道机动}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection}
\begin{itemize}
    \item 通信卫星通常运行在地球静止轨道(GEO)，距离地球约36000公里。
    \item 当卫星通过运载火箭发射入轨时，入轨点大致位于发射场上空。
    \item 除非发射场非常靠近赤道，否则很难直接将卫星发射到赤道平面的地球静止轨道。
\end{itemize}
\begin{center}\includegraphics[scale=0.4]{fig_4_p34.jpg}\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection}
\begin{itemize}
    \item 经典流程是先进入称为GTO(地球同步转移轨道)的高偏心轨道，然后通过一系列卫星机动到达最终的地球静止轨道。
    \begin{center}\includegraphics{fig_4_p35.pdf}\end{center}
    \item 卫星发射时，我们通常根据任务目标需要进入特定轨道。
    \begin{itemize}
        \item 考虑到发射场位置或运载火箭类型，这个目标轨道可能无法直接通过发射实现。
    \end{itemize}
    \item 因此，通常需要进行轨道机动。
\end{itemize}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{简单脉冲机动}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
    机动通常通过星载推进器实施，一般采用(尽管不总是)短时间脉冲序列的方式。
    \begin{center}\includegraphics[scale=0.4]{fig_4_1.jpg}\end{center}
    \begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.1:} 远地点发动机\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
为便于分析，\textcolor{blue}{我们假设这些脉冲是瞬时的}。
\begin{itemize}
    \item 最简单的机动类型只需要单次脉冲。
\end{itemize}
\begin{center}\includegraphics{fig_4_2.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.2:} 单脉冲机动\end{center}
\begin{block}{简单脉冲机动特性}
\begin{itemize}
    \item 瞬时改变航天器速度矢量 \(\vec{V}\)
    \[ \triangle \vec{V} = \vec{V}_2 - \vec{V}_1 \]
    \item 不影响位置矢量 \(\vec{r}\)
    \[ \triangle \vec{r} = 0 \]
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
机动的重要参数是速度增量大小
\[ \Delta v = |\Delta \vec{v}| \]
它\textcolor{blue}{表征了燃料消耗量}。
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{共面机动}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
假设初始轨道和目标轨道\textcolor{blue}{位于同一平面}。\\
我们将仅考虑\textcolor{blue}{切向速度改变}。
\begin{block}{切向速度改变特点}
\begin{itemize}
    \item 仅改变速度大小
    \item 不改变速度方向
\end{itemize}
\end{block}
\begin{columns}
\column{0.33\textwidth}
    \begin{center}\includegraphics{fig_4_3.pdf}\end{center}
    \textcolor{blue}{图 \arabic{section}.3:} 圆轨道转椭圆轨道
\column{0.33\textwidth}
    \begin{center}\includegraphics{fig_4_4.pdf}\end{center}
    \textcolor{blue}{图 \arabic{section}.4:} 椭圆轨道转圆轨道
\column{0.33\textwidth}
    \begin{center}\includegraphics{fig_4_5.pdf}\end{center}
    \textcolor{blue}{图 \arabic{section}.5:} 霍曼转移
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
1. 圆轨道转椭圆轨道
\begin{itemize}
    \item 对于圆轨道，\( \vec{r} \perp \vec{V} \)。
    \item 对于椭圆轨道，仅在近拱点和远拱点满足 \( \vec{r} \perp \vec{V} \)。
\end{itemize}
这意味着在圆轨道任意点施加切向速度增量，都会使该点成为新轨道的近拱点或远拱点。
\begin{center}\includegraphics{fig_4_6.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.6:} 圆轨道转椭圆轨道\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
根据活力方程
\[ v = \sqrt{\mu \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)} \]
可得
\[ \Delta v = v_2 - v_1 = \sqrt{\mu \left( \frac{2}{r_1} - \frac{1}{a} \right)} - \frac{\mu}{r_1} \]
\begin{center}\includegraphics{fig_4_6.pdf}\end{center}
\begin{columns}
\column{0.45\textwidth}
若 \( a > r_1 \)，则 \( v_2 > v_1 \)。
\column{0.45\textwidth}
若 \( a < r_1 \)，则 \( v_2 < v_1 \)。
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
2. 椭圆轨道转圆轨道
\begin{itemize}
    \item 对于圆轨道，\( \vec{r} \perp \vec{v} \)。
    \item 对于椭圆轨道，仅在近拱点和远拱点满足 \( \vec{r} \perp \vec{v} \)。
\end{itemize}
\begin{center}\includegraphics{fig_4_7.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.7:} 椭圆轨道转圆轨道\end{center}
这意味着对于椭圆轨道：
\begin{itemize}
    \item 在近拱点施加切向速度增量将改变远拱点高度
    \item 在远拱点施加切向速度增量将改变近拱点高度
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
若要通过切向转移将椭圆轨道圆化，只能在近拱点或远拱点实施。
\[ \Delta v = v_1 - v_2 = \sqrt{\mu \left( \frac{2}{r_2} - \frac{1}{a} \right)} - \sqrt{\frac{\mu}{r_2}} \]
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\frametitle{}
3. 霍曼转移 \\
考虑半径分别为 \( r_1 \) 和 \( r_2 \) 的两个圆轨道间的转移。
\begin{columns}
\column{0.45\textwidth}
    \begin{center}\includegraphics{fig_4_8.pdf}\end{center}
    \begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.8:} 霍曼转移\end{center}
\column{0.45\textwidth}
    \begin{itemize}
        \item 这两个轨道没有共同点
        \item 因此无法通过单次脉冲实现转移
    \end{itemize}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\vspace{-8pt}
\begin{columns}
\column{0.65\textwidth}
\begin{block}{瓦尔特·霍曼于1925年提出双脉冲转移方案}
\begin{itemize}
    \item 包含两次切向机动：先由圆轨道转为椭圆轨道，再由椭圆轨道转为圆轨道
    \item 实践证明，霍曼转移是共面圆轨道间所需\(\Delta v\)最小的双脉冲机动方案
\end{itemize}
\end{block}
\column{0.3\textwidth}
\begin{center}\includegraphics[scale=0.4]{fig_4_9.jpg}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.9:} 瓦尔特·霍曼\end{center}
\end{columns}
\vspace{-8pt}
\begin{columns}
\column{0.45\textwidth}
\begin{center}\includegraphics[scale=0.8]{fig_4_8.pdf}\end{center}
\vspace{-16pt}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.10:} 霍曼转移\end{center}
\column{0.45\textwidth}
可见转移轨道的半长轴为
\[ a_t = \frac{r_1 + r_2}{2} \]
\vfill
\end{columns}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{轨道面变更机动}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
要改变轨道平面，只需将速度矢量 \(\vec{v}\) 绕位置矢量 \(\vec{r}\) 旋转。
\begin{center}\includegraphics{fig_4_11.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.11:} 轨道面变更机动\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\begin{columns}
\column{0.45\textwidth}
速度增量计算公式为
\[ \Delta v = 2v \sin \frac{\theta}{2} \]
\column{0.45\textwidth}
\begin{center}\includegraphics{fig_4_12.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.12:} 轨道面变更的速度增量\end{center}
\end{columns}
例如：
\begin{itemize}
    \item 当 \(\theta = 60^\circ\) 时，\(\Delta v = v\)
    \item 对于典型的近地轨道航天器，此速度增量约为7.5 km/s
\end{itemize}
\begin{block}{注记}
如有可能，应在轨道速度最小处执行轨道面变更。
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
与轨道平面相关的两个轨道要素是：
\begin{itemize}
    \item 轨道倾角 \( i \)
    \item 升交点赤经 \(\Omega\)
\end{itemize}
\begin{columns}
\column{0.45\textwidth}
\begin{center}\includegraphics{fig_2_8.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.13:} 轨道要素\end{center}
\column{0.45\textwidth}
\begin{center}\includegraphics{fig_4_14.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.14:} 一般轨道面变更机动\end{center}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
如需进行纯倾角变更，必须在轨道穿越赤道面的位置执行机动。
\begin{center}\includegraphics{fig_4_15.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.15:} 赤道面交点的轨道面变更机动\end{center}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{组合机动}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\textcolor{blue}{若要同时改变轨道的大小、形状和平面，需要组合运用前述机动方式。} \\
例如，考虑两个非共面圆轨道之间的转移（\(r_2 > r_1\)）。
\begin{center}\includegraphics{fig_4_16.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.16:} 组合机动\end{center}
\begin{itemize}
    \item 步骤1：在转移椭圆近拱点执行第一次霍曼转移
    \item 步骤2：在转移椭圆远拱点执行第二次霍曼转移及轨道面变更
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{\thesection.\ \insertsection \\ \small\thesection.\thesubsection\ \insertsubsection}
\begin{columns}
\column{0.65\textwidth}
通信卫星的应用实例
\begin{itemize}
    \item 当卫星通过运载火箭发射入轨时，入轨点大致位于发射场上空
    \item 由于轨道平面必须包含地心和入轨点（大致在发射场上空），可获得的最小轨道倾角约等于发射场与赤道面的夹角（即发射场纬度）
    \item 因此，除非发射场非常靠近赤道，否则很难直接将卫星发射入赤道轨道
\end{itemize}
\column{0.3\textwidth}
\begin{center}\includegraphics{fig_4_17.pdf}\end{center}
\begin{center}\textcolor{blue}{图 \arabic{section}.17:} 发射场位置示意图\end{center}
\end{columns}
\textcolor{blue}{上述组合机动的一个典型应用就是转入赤道轨道。}
\end{frame}
